Voorspelbaarheid van het weer

Voorspelbaarheid van het weer van Lavoisier tot Lorenz
Het tijdperk van de numerieke verwachtingen
26 oktober 2010
Wouter Lablans en Gerard van der Schrier

Na de Tweede Wereldoorlog verscheen de elektronische rekenmachine op het toneel en kwamen er spoedig berekende verwachtingen beschikbaar. Het duurde daarna geruime tijd voordat de vraag naar de lengte van de verwachtingstermijn onderwerp van systematisch onderzoek door Edward Lorenz werd. Verrassend ver voordat verwachtingen door berekening mogelijk werden, bleken er reeds voorboden van het werk van Lorenz in de literatuur voor te komen.

Figuur 1. Jules Henri Poincaré (1854-1912): één van de eerste personen die een chaotisch deterministisch systeem ontdekte en één van de grondleggers van de chaostheorie.

Bode: weersverwachtingen onmogelijk en nutteloos bovendien
De Duitse astronoom Johan Elert Bode (1747-1826) had behalve zijn visie op ‘waarschijnlijke gissingen’ met empirische methoden, die we in Meteorologica van december 2007 bespraken, ook een visie op de voorspelbaarheid van het weer op wetenschappelijke grondslag. In zijn publicatie uit het jaar 1819, die handelde over het onmogelijke en nutteloze van weersverwachtingen, zegt hij dat de weersontwikkeling wel verre van aan bloot toeval overgelaten te zijn zich regelt naar de onveranderlijke wetten der natuur. Dit is de grondslag voor weersverwachtingen door berekening. Bode beschouwde de atmosferische fysica als een duister en samengesteld gedeelte van de natuurkunde. We zouden nu zeggen dat hij hiermee wellicht het deterministisch chaotische karakter van de atmosfeer op het spoor was. De gedachtegang van Bode is dan een wel zeer vroege voorbode van het werk van Lorenz.

Hij vond de atmosferische fysica kennelijk te duister om op grond van de natuurkundewetten tot weersverwachtingen te kunnen komen. Gezien de kennis van de meteorologie in zijn tijd kunnen we daarvoor wel begrip hebben.

Opmerkelijk is dat hij weersverwachtingen behalve onmogelijk ook nutteloos achtte. Met ‘nutteloos’ bedoelde hij, gezien zijn tekst, eigenlijk ‘ongewenst’. Dit oordeel sloeg niet op de empirische verwachtingen voor de korte termijn van ervarene landlieden, maar op wetenschappelijke verwachtingen voor de langere termijn. Zulke verwachtingen zouden leiden tot het opkopen van landbouwproducten, met het doel te profiteren van een op grond van een lange termijn weersverwachting te verwachten schaarste. Deze visie sloot aan bij zijn levensbeschouwing. Want, zo zegt hij, zulk een kennis [fusion_builder_container hundred_percent=”yes” overflow=”visible”][fusion_builder_row][fusion_builder_column type=”1_1″ background_position=”left top” background_color=”” border_size=”” border_color=”” border_style=”solid” spacing=”yes” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” padding=”” margin_top=”0px” margin_bottom=”0px” class=”” id=”” animation_type=”” animation_speed=”0.3″ animation_direction=”left” hide_on_mobile=”no” center_content=”no” min_height=”none”][zou] even zo schadelijk zijn als die van onze eigene toekomende lotgevallen, welke de Algoede, ook om wijze redenen, met een ondoordringbaar duister bedekt heeft.

De wetenschappelijke benadering van FitzRoy
Een andere, nu optimistische vroege beschouwing over verwachtingen door berekening vinden we in het Weather Book van Admiraal Robert Fitz Roy (1805-1865) uit 1863. Hoewel dit boek handelt over mogelijke ontwikkelingen in de empirische weerkaartenmeteorologie, wijdt hij zijdelings enkele passages aan verwachtingen op basis van de natuurkundewetten. Zo zegt hij: There appears to be reasonable ground for expectation that meteorological dynamics will soon be subjected to mathematical analysis and accurate formulas. Dat zou dan, volgens een hoofdstukje van drie pagina’s over Scientific Forecasting, leiden tot een method of reducing fluctuating atmospheric elements to manageable quantities such as may enable even ordinary mathematicians to calculate their relative values in a determinate manner. En ook: Due combination of such potentials in equations and formulas should be so arranged as to enable tables and brief rules to be established, from which any moderately educated person might draw results. Hij besluit met de verwachting uit te spreken dat op dit gebied advances will be made by others (so much more competent) toward accurately scientific investigation to this practically useful subject.

Het inzicht van Poincaré
Omstreeks 1890 stuitte Henri Poincaré (1854-1912, figuur 1) op complicaties bij berekeningen aan deterministische systemen. Men was vertrouwd met berekeningen met analytische methoden, voor in beginsel onbepaald lange tijd vooruit, zoals die met groot succes werden uitgevoerd in de astronomie. Een op het oog vrij eenvoudig probleem, het drielichamenprobleem uit de mechanica, bleek niet analytisch oplosbaar te zijn. Poincaré ontwikkelde voor dit probleem een benaderende oplossingsmethode. Daarbij bleken oplossingen voor te kunnen komen waarbij het systeem een onregelmatig gedrag vertoont en kleine verschillen in begincondities tot grote verschillen in oplossingen leiden. Hiermee legde hij de basis voor wat we tegenwoordig de chaos-wiskunde noemen, maar dit werk van Poincaré kreeg lange tijd geen bekendheid bij de natuurkundigen. Hun aandacht werd rond 1900 en de decennia daarna geheel in beslag genomen door de ontwikkeling van de moderne natuurkunde, de kwantummechanica en de relativiteitstheorie. De deterministische chaos moest later worden herontdekt. Toen kwam het werk van Poincaré in de aandacht en bleek dat hij zelfs de beperkte voorspelbaarheid van het weer heeft genoemd als een voorbeeld van ‘deterministische chaos’.

In een filosofisch betoog uit 1908 blijkt dat Poincaré de beroepsmeteorologen, wat het inzicht in de beperkte voorspeltermijn betreft, zeer ver vooruit was, want hij vraagt: Waarom kost het een meteoroloog zo veel moeite het weer te voorspellen? Waarom lijkt het of regen en storm bij toeval voorkomen waardoor veel mensen het als vanzelfsprekend beschouwen om voor regen of zonneschijn te bidden, terwijl diezelfde mensen het belachelijk vinden om voor een zonsverduistering te bidden? We zien dat de grote verstoringen optreden in gebieden waar de atmosfeer in wankel evenwicht is. De meteorologen zijn zich er van bewust dat dit evenwicht labiel is en ze weten dat er ergens een cycloon ontstaat, maar ze kunnen niet vertellen waar precies; een tiende graad meer, of juist minder, van een zeker gegeven punt verwijderd, en de cycloon zal op een andere plek dan het bewuste punt huishouden, of hij richt schade aan in landen die hij had moeten ontzien. Wij hadden dit kunnen voorzien, als we dat van die tiende graad hadden geweten, maar de waarnemingen waren te grof of te onnauwkeurig; hierdoor lijkt alles een gevolg van toeval te zijn.

De eerste aanzet voor een berekende weersverwachting
In 1904 begaf Vilhelm Bjerknes (1862- 1951) zich op het terrein van de weersverwachtingen door berekening, met een artikel waarin hij een stelsel van zeven vergelijkingen presenteerde dat opgelost zou moeten worden om tot een berekende weersverwachting te komen. Deze publicatie wordt in de literatuur als het begin van het meteorologische onderzoek naar de mogelijkheid van weersverwachtingen door berekening beschouwd. Bjerknes constateerde dat zijn stelsel vergelijkingen met de beschikbare analytische methoden niet opgelost kon worden. Op grond van de toen gangbare opvatting over het determinisme was hij optimistisch over de mogelijkheden voor weersverwachtingen door berekening, want, zo zegt hij: …jeder naturwissenschaftlich denkender Mann glaubt, dasz sich späteren atmosphärischen Zustände gesetzmäzig aus der vorhergehenden entwickeln. Nu geldt dit ook voor de deterministische chaos, maar de waarschuwing van Poincaré dat determinisme kan samengaan met beperkte voorspelbaarheid was door Bjerknes en zijn tijdgenoten niet opgemerkt.

Bjerknes publiceerde zijn optimistische visie in 1919, waarop de toen toonaangevende Duitse meteoroloog August Schmauss met een kritisch commentaar reageerde. Hij was van mening dat Bjerknes te optimistisch was, omdat ondanks de deterministische aard van de vergelijkingen het toeval bij de voorspelbaarheid van het weer een rol zou kunnen spelen. Dit toeval zou dan bestaan uit de niet te vermijden toevallige fouten in de waarnemingen, in combinatie met de mogelijkheid dat in de atmosfeer kleine oorzaken grote gevolgen zouden kunnen hebben. Aan deze waarschuwing werd geen aandacht besteed daar het een niet bewezen Vermutung was. Pas in 1986 wees J. Kluge er op dat het artikel van Schmauss een opmerkelijke voorbode was van het werk van Lorenz.

De toekomstvisie van Bjerknes was dat er nog veel werk zou moeten worden verzet voordat berekende verwachtingen zouden kunnen worden gerealiseerd. Het beeld dat Bjerknes daarbij gebruikte was dat eerst een tunnel zou moeten worden gegraven voordat een sneltrein zou kunnen gaan rijden. Dit waren visionaire uitspraken, want Bjerknes kon in het geheel niet aangeven hoe dat zou moeten geschieden en hij kon ook niet voorzien dat dat nog tijdens zijn leven zou gebeuren.

Het te grote optimisme van Bjerknes heeft een gunstig effect gehad, want het stimuleerde anderen om op de door hem ingeslagen weg voort te gaan. Een belangrijke rol was daarbij weggelegd voor de Britse meteoroloog L.F. Richardson.

Lewis Fry Richardson
Lewis Fry Richardson (figuur 2) was een veelzijdig begaafde wis- en natuurkundige. Hij was bij verscheidene onderzoeksinstellingen en bij het wetenschappelijk onderwijs werkzaam. Bij het Britse Meteorological Office was hij in dienst van 1913 tot 1916 en van 1919 tot 1920. Geen andere meteoroloog heeft zich in zo korte tijd een zo grote plaats in de geschiedenis van de meteorologie verworven. We moeten daarbij wel bedenken dat hij, voor hij bij het Met. Office in dienst trad, de grondslag voor zijn meteorologische onderzoek reeds had gelegd. Bij onderzoek naar de fysica van het drogen van turf stuitte hij op differentiaalvergelijkingen die niet met analytische methoden opgelost konden worden. Richardson ontwikkelde toen een benaderende rekenwijze door de differentiaalvergelijkingen te benaderen door differentievergelijkingen; pionierswerk op het gebied van de numerieke wiskunde.

Figuur 2. Lewis Fry Richardson (1881-1953). Figuur 3. Het rooster dat Richardson gebruikte voor zijn verwachting. De proefberekening die hij voltooide gedurende zijn tijd in de loopgraven betrof de druk P en de windsnelheid M in de met * aangeduide vakken.

In 1913 legde hij zich op het Met. Office toe op de toepassing van deze methode op het berekenen van weersverwachtingen. Een numeriek model was in 1916 gereed. Het was niet minder dan een baroklien vijflagenmodel! Bovendien werden de vergelijkingen van Bjerknes door Richardson nog met tal van details omtrent de fysische processen in de atmosfeer aangevuld, want Richardson had een afkeer van vereenvoudigingen.

De eerste berekende “weersverwachting”
Van 1916 tot 1919 deed Richardson als pacifist (hij was een Quaker) dienst aan het front in het noordoosten van Frankrijk als ambulancechauffeur, soms under heavy shelling. Rustige perioden benutte hij door het toepassen van het model op de weersituatie van 20 mei 1910, een internationale meetdag waarvoor relatief veel gegevens beschikbaar waren. Hij beperkte zich tot het berekenen van een verwachting van de luchtdruk en de temperatuur voor enkele stations in het centrum van het waarnemingsgebied, dat een groot deel van Europa besloeg (figuur 3). De berekening leverde zeer duidelijk foutieve resultaten op, zoals een drukverandering aan de grond van 145 hPa in 6 uur. Hij publiceerde in 1922 de 236 pagina’s tellende studie, in boekvorm: Weather Prediction by Numerical Process (verder te noemen WPNP). De publicatie kwam twee jaar nadat hij ontslag had genomen bij het Met. Office omdat dit toen werd ondergebracht bij het ministerie van defensie.

Figuur 3. Het rooster dat Richardson gebruikte voor zijn verwachting. De proefberekening die hij voltooide gedurende zijn tijd in de loopgraven betrof de druk P en de windsnelheid M in de met * aangeduide vakken.

Richardson had een groot vertrouwen in de kwaliteit van zijn model. De grote fouten die optraden schreef hij toe aan onvolkomenheden in de begintoestand, een veronderstelling die later juist bleek te zijn. Hij had de waarnemingen van de begintoestand wel enigszins gladgestreken, maar later zou blijken dat er nog afwijkingen van de werkelijke toestand van de atmosfeer aanwezig waren die tot gevolg hadden dat het rekenresultaat geheel bepaald werd door een artefact, een niet realistische zwaartekrachtgolf, die ook oplossing was van de vergelijkingen. Peter Lynch (2006) heeft de berekening van Richardson op een moderne computer herhaald en komt uit op een drukverandering van 145.5 hPa waar Richardson 145.1 hPa gevonden had. Met een geïnitialiseerde begintoestand, waarbij de zwaartekrachtsgolven weggefilterd zijn, geeft Richardson’s model een drukverandering van 0.9 hPa, in overeenstemming met de waarnemingen op 20 mei 1910.

Interessant, maar van praktisch nut?
Het werk van Richardson werd door recensenten als een interessante theoretische studie gezien omdat enkele aanvullingen op de vergelijkingen van Bjerknes originele bijdragen tot de kennis van de fysische meteorologie waren. Toepassing als verwachtingsmethode achtte men evenwel niet mogelijk, vanwege de toen nog onverklaarde fouten in de resultaten en de vereiste rekencapaciteit. Volgens Richardson zouden er 64000 rekenaars nodig zijn om het weer al rekenend bij te houden. Volgens Lynch (2006) maakte Richardson daarbij een rekenfout, het hadden er ongeveer vier maal zo veel moeten zijn. Voor een verwachting zou dit aantal oplopen tot een miljoen rekenaars. Lynch geeft helaas niet aan welke verwachtingstermijn hij daarbij op het oog had.

Richardon’s barotrope model
Lynch besteedt ook aandacht aan een hoofdstuk in WPNP dat we alleen bij hem vermeld zagen, een berekening door Richardson met een eenvoudig barotroop model. Het is begrijpelijk dat men bij beschouwingen over het werk van Richardson dit hoofdstuk graag buiten beschouwing laat omdat dit tot een misverstand kan leiden, want het lijkt in tegenspraak te zijn met de afkeer van Richardson voor vereenvoudigingen. Dit model was evenwel niet bedoeld als verwachtingsmodel, maar als een illustratie van de wiskundige methode. Het werd pas in 1919 toegevoegd aan het manuscript van WPNP, op advies van de Engelse meteoroloog William Henry Dines, ten behoeve van de leesbaarheid van het boek, en werd daarom voor in het boek geplaatst. Dit hoofdstuk was, volgens Lynch wel : …. an excellent introduction in the process of numerical weather prediction, maar het beoogde effect op de leesbaarheid van WPNP werd niet bereikt want, volgens Lynch: much of the remainder is heavy going with the central ideas often obscured by extraneous material. De vele toevoegingen aan de vergelijkingen van Bjerknes nemen meer dan de helft van het boek in beslag.

Ook van het barotrope model waren de rekenresultaten duidelijk foutief. Richardson besteedt daar geen aandacht aan; hij vond een barotroop model ongetwijfeld veel te eenvoudig om goede resultaten van te mogen verwachten. Richardson merkt over het barotrope model op: Before attending tot the complexities of the actual atmosphere [….] it may be well to exhibit the working of a much simplified case. Dat was wijsheid achteraf, in strijd met de historische gang van zaken en daarom verwarrend voor lezers van WPNP die met de door Lynch aan het licht gebrachte gang van zaken niet op de hoogte zijn.

Het computertijdperk
De betekenis van het werk van Richardson kwam pas goed aan het licht toen, in de vorm van de computer, de ‘sneltrein’ van Bjerknes beschikbaar kwam. Op initiatief van Carl-Gustaf Rossby en de wiskundige John von Neumann werd onmiddellijk na de Tweede Wereldoorlog de toepassing van de computer in de meteorologie voortvarend aangepakt op het Institute for Advanced Study te Princeton (IAS), waar von Neumann met technici werkte aan de eerste moderne computer, dwz de computer met interne programmering en interne dataopslag. De meteorologen werkten aan de toepassing van de computer in de meteorologie. De bij von Neumann, onder leiding van Jule Charney (figuur 4) op het IAS werkzame groep meteorologen maakte dankbaar gebruik van het pionierswerk van Richardson op het gebied van de numerieke wiskunde. Men was reeds toe aan een eerste toepassing van de computer toen de IAS computer nog niet gereed was. Men kreeg de beschikking over een computer van het Amerikaanse leger met een kleine rekencapaciteit, juist voldoende om met een barotroop model te kunnen experimenteren. Het gebruik van een quasi-geostrofisch model dient daarbij als filter tegen de invloed van zwaartekrachtgolven. Het resultaat werd in 1950 gepubliceerd door Charney, Ragnar Fjørtoft en von Neumann. De prestaties waren beter dan men had verwacht. Het barotrope model deed in de VS zelfs operationeel dienst tussen 1958 en 1960, met de waarschuwing dat het model het liet afweten bij situaties met snelle cyclogenese die veroorzaakt wordt door barokliene onstabiliteit. Omstreeks 1960 kon men overgaan op barokliene modellen. Rond 1970 kon men de vereenvoudigingen in de vergelijkingen vrijwel geheel weglaten en overgaan op de primitieve- of basisvergelijkingen. De invloed van zwaartekrachtsgolven werd nu vermeden door goede initialisatie van de begintoestand.

Figuur 4. Jule Gregory Charney (1917-1981).

De voorspelbaarheid De lezer zal hebben opgemerkt dat we over lange tijd geen andere voorboden van het werk van Lorenz konden melden dan het artikel van Schmauss uit 1919. De gangbare opvatting was gedurende lange tijd, in het voetspoor van Bjerknes, dat door verbeteringen in het waarnemingsnetwerk en verfijningen van de modellen de verwachtingstermijn steeds uitgebreid zou kunnen worden, met als beperking voornamelijk de hoge kosten van het verdichten van het waarnemingsnetwerk. Men was hier kennelijk zo van overtuigd dat aan een tweetal voorboden van het werk van Lorenz die in het computertijdperk verschenen, artikelen van E.T. Eady (1951) en van P.D. Thompson (1957), weinig aandacht werd besteed.

Eric Thomas Eady
Uit het prille begin van het computertijdperk dateert een publicatie van de hoogbegaafde doch jong overleden Britse meteoroloog Eric T. Eady (1915-1966) uit 1951 met de titel: On the theory of cyclogenesis. We vinden daarin weinig over de cyclogenese, maar wel belangrijke bouwstenen van de moderne voorspelbaarheidstheorie. Eady is van mening dat er sprake is van …certain ultimate limitations to the possibility of weather forecasting. En … the most we can hope to do is to determine the relative probabilities of different outcomes. Ofwel, overgaan op kansverwachtingen. Hij geeft ook aan hoe dat dan zou moeten, namelijk: the set of all future developments is a divergent set [….] We must consider the set or ensemble of all possible developments. Eady was zijn tijd dus ver vooruit, maar de publicatie was verborgen in een 1334 pagina’s tellend Compendium of Meteorology van de American Meteorological Society.

Philip Duncan Thompson
In 1957 verscheen een publicatie van Philip D. Thompson over de gevoeligheid van de numerieke verwachtingen voor kleine verschillen in de begintoestand. Hij verdiepte zich niet in de oorzaak hiervan, maar evenals Eady bracht hij wel de opvatting naar voren dat de uitbreiding van de verwachtingstermijn wellicht niet slechts een kosten-baten probleem zou zijn. Hij zegt daarover: On the purely scientific side it is an important point of doctrine to know whether or not our uncertainty as to the atmosphere’s future is accounted for by economic (or, ultimately human) incapacity to observe and compute, or whether it is essential and due to some irreducible minimum of indeterminacy that lies beyond human limitation.

Hij was de eerste die een schatting gaf van een maximale verwachtingstermijn, door het berekenen van de ‘foutengroei’, het uiteenlopen van verwachtingen bij iets verschillende beginvoorwaarden. Bij het voorbeeld dat hij uitwerkte kwam hij tot een voorspelbaarheid van 7,7 dagen. Dat is niet wat wij tegenwoordig als de voorspelhorizon beschouwen, want daaronder wordt verstaan de maximaal mogelijke verwachtingstermijn, als alle mogelijkheden tot verbeteringen in de modellen en de waarnemingen zijn benut, wat in 1957 zeker niet het geval was. De publicatie van Thompson trok weinig aandacht, wellicht omdat zijn berekeningen geen bewijs inhielden voor het bestaan van een maximale voorspeltermijn. Figuur 6. Een oplossing van de vergelijkingen van Lorenz die periodiek is, en dus niet chaotisch, maar wel de vorm van de vlinder vertoont.

De ontdekking van deterministische chaos
Omstreeks 1960 bleek aan Edward N. Lorenz bij het werken met een eenvoudig atmosfeermodel met 12 veranderlijken dat kleine verschillen in de begintoestand van een berekening grote verschillen in het rekenresultaat veroorzaakten. Aanvankelijk dacht hij aan een computerstoring, wat bij de toenmalige buizentoestellen nogal eens voorkwam, maar spoedig bleek de oorzaak gelegen te zijn in het feit dat hij een berekening had herhaald met iets afgeronde invoergegevens. Lorenz (1996) spreekt van: the unexpected response of the equations to the round off errors. Hieruit blijkt dat het werk van de ‘voorboden’ zoals Poincaré en Eady en zelfs het recente werk van Thompson hem niet bekend was.

De vlinder van Lorenz
De eerste publicatie van Lorenz in 1963 over de beperkte voorspelbaarheid had geen betrekking op het atmosfeermodel waarbij hij dit verschijnsel ontdekte maar op een model met een vergelijkingenstelsel met slechts drie veranderlijken. Daarmee kunnen de eigenschappen van deterministisch chaotische systemen zichtbaar gemaakt worden wat bij systemen met veel veranderlijken niet goed mogelijk is. Lorenz was op dit stelsel attent gemaakt door Barry Saltzman, die bij een model voor thermische convectie, de Rayleigh- Bernard convectie, op oplossingen met een onregelmatig gedrag was gestuit, die voor Saltzman onbruikbaar waren.

In de door de drie veranderlijken opgespannen toestandsruimte wordt de toestand van een systeem aangegeven met een enkel punt en het gedrag van het systeem in de tijd dus door een lijn waardoor eigenschappen van het systeem zichtbaar worden. Dit rekenvoorbeeld heeft daardoor ook buiten de meteorologie grote bekendheid gekregen. Het bleek dat de baan die de oplossing van Lorenz voor dit stelsel geeft in de toestandsruimte het vlindervormige beeld van figuur 5 oplevert, waarbij het systeem afwisselend, op onregelmatige wijze, de beide vleugels bezoekt. Bij een klein verschil in de begintoestand krijgt men een andere baan die spoedig sterk van de eerste baan gaat afwijken zodat er sprake is van beperkte voorspelbaarheid.

De combinatie van bijzondere gevoeligheid voor de begintoestand en onregelmatig gedrag in de tijd van de oplossingen in de tijd zijn kenmerken van deterministische chaos. Lorenz sprak aanvankelijk kortweg van ‘onregelmatig gedrag’ van sommige deterministische systemen, pas na 1983 heeft hij zich aangesloten bij de chaos-terminologie.

Onbewezen chaos
Het wiskundige bewijs dat we bij een bepaald systeem met deterministische chaos te maken hebben is meestal moeilijk te leveren. Dit hangt samen met het feit dat niet-lineariteit wel een noodzakelijke maar niet een voldoende voorwaarde is voor het optreden van deterministische chaos. Bij een bepaald stelsel van niet-lineaire vergelijkingen kan zowel klassiek determinisme als deterministische chaos optreden, afhankelijk van de waarden die we kiezen voor de in de vergelijkingen voorkomende parameters. Zo vonden Lablans en van der Schrier (2004) door het kiezen van geschikte parameterwaarden een periodieke ‘vlinder van Lorenz’, dus een onbeperkte voorspelbaarheid (figuur 6).

Figuur 6. Een oplossing van de vergelijkingen van Lorenz die periodiek is, en dus niet chaotisch, maar wel de vorm van de vlinder vertoont.

Voor een complex systeem, zoals de atmosfeer, is het bewijs dat we met deterministische chaos te maken hebben niet te leveren. Men gaat dan af op het gedrag van het systeem. Als men bijzondere gevoeligheid van rekenresultaten voor de begintoestand waarneemt in combinatie met een onregelmatig gedrag van het systeem, dan neemt men aan met deterministische chaos te maken te hebben. Lorenz (1996) heeft dit voor de atmosfeer als volgt geformuleerd: The atmosphere cannot be examined directly for chaos, but numerical studies with models with various degrees of complexity leave little doubt that the atmosphere is chaotic. Indeed the nonlinearity introduced by the presence of advective processes […] is by itself quite sufficient to produce chaos.

De visualisatie van Lorenz’ stelsel in het waterwiel
De belangstelling voor het artikel van Lorenz uit 1963. waarin het vermoeden van Schmauss, Eady en Thompson door Lorenz op overtuigende wijze bevestigd werd, was aanvankelijk niet groot, maar gelukkig wel bij de collega’s op het MIT, in het bijzonder bij Jule Charney, die verder onderzoek naar de voorspelbaarheid stimuleerde. Andere MIT-collega’s, Willem van Renselaer Malkus en Louis Howard construeerden een toestel waarvoor de ’vlindervergelijkingen’ een perfect model zijn, het zogenaamde waterwiel (figuur 7). Hiermee werd aangetoond dat de deterministische chaos niet een wiskundige abstractie is, maar dat deterministisch chaotisch gedrag ook bij reële fysische systemen kan voorkomen: het waterwiel vertoont het door de theorie voorspelde onregelmatige gedrag, de rotatierichting van het wiel wisselt op onregelmatige, chaotische, wijze. (M.Kolar et al. 1992)

Figuur 7. Schema van een waterrad waarvan de bewegingsvergelijkingen overeen komen met het dynamisch systeem van Lorenz. Bij een juist ingestelde watertoevoer blijkt de draairichting onregelmatig, chaotisch, van richting te veranderen. Een uitgebreide beschrijving en een filmpje van een bewegend waterrad is te zien op www.knmi.nl/~schrier

De voorspelhorizon
De theorie achter de deterministische chaos, de chaoswiskunde, kan geen rekenwijze geven voor de ligging van de voorspelhorizon voor afzonderlijke systemen, omdat die bepaald wordt door de eigenschappen van het betreffende systeem. Lorenz wees daarop in 1969 in een artikel waarin hij opmerkt dat de atmosfeer behoort tot de systemen met verschillende scales of motion die ieder hun eigen voorspelhorizon hebben, die toeneemt met de grootte van de schaal. De variatie van deze schalen is in de atmosfeer bijzonder groot, varierend van de kleinste werveltjes tot de algemene circulatie. De literatuur over de voorspelbaarheid van het weer heeft in het algemeen betrekking op de meerdaagse verwachtingen voor de gematigde breedten en daarmee op de schaal van de synoptische systemen. Dit betekent dat op onze breedte de voorspelbaarheid relatief klein is bij een actieve westcirculatie en relatief groot bij een blokkade. Lorenz kent nu, in 1969, het werk van Thompson en ook de later op initiatief van Charney uitgevoerde berekeningen van de foutengroei bij nieuwere atmosfeermodellen. Steeds worden bruikbare verwachtingstermijnen gevonden van één à twee weken. Hoeveel winst er nog te behalen valt met verdere verbeteringen van modellen en waarnemingen is op deze manier niet vast te stellen. Lorenz verwachtte geen belangrijke verdere uitbreiding van de voorspelhorizon. Hij verwijst hierbij naar een beschouwing over de voorspelbaarheid van Robinson uit 1967.

De voorspelbaarheid bij Robinson
In een “Presidential address” voor de Royal Meteorological Society besteedde G.D. Robinson in 1967 aandacht aan de voorspelbaarheid van het weer. Het werk van Lorenz noemt hij niet, dat had in 1967 nog geen algemene bekendheid. De door Thompson en anderen op grond van de foutengroei berekende voorspelbaarheid vond hij niet maatgevend: I think the experiment may tell us a lot about the models, but not necessarily anything about the real atmosphere. Robinson is van mening dat de voorspelbaarheid van de weersontwikkeling geschat kan worden als de levensduur van het systeem dat de weersontwikkeling veroorzaakt. Dat kan voor een korte termijnverwachting de levensduur van een cumulonimbus zijn, en voor meerdaagse verwachtingen de levensduur van de synoptische systemen. Dit laatste is goed in overeenstemming met de met behulp van de foutengroei geschatte voorspelhorizon van één à twee weken. De ‘schatting van Robinson’ is tegenwoordig algemeen aanvaard, maar als een overschatting, want we moeten bedenken dat Robinson geen rekening houdt met bederf van de numerieke verwachtingen, dat vaak optreedt als systemen van de verschillende schaal elkaars ontwikkeling beïnvloeden. Theo Opsteegh (1990) zegt hierover: Op ieder moment kunnen nieuwe structuren worden gevormd die de ontwikkeling van bestaande structuren beïnvloeden. Zo kan de door het model verwachte ontwikkeling van een bestaande depressie soms toch volledig fout gaan. We vonden geen literatuur over de voorspelhorizon voor verwachtingen voor kleinere schalen, zoals voor regionale modellen of voor de zeer korte termijn zoals verwachtingen voor de luchtvaart, de landbouw en het wegverkeer.

Kansverwachtingen
Het werd door het werk van Lorenz duidelijk dat ondanks de deterministische aard van de numerieke modellen bij de weerverwachtingen nooit perfectie zal worden bereikt, zelfs niet binnen de voorspelhorizon. We hebben dus altijd te maken met kansverwachtingen. De toenemende rekencapaciteit van de computers maakte het mogelijk de waarschijnlijkheid van de verschillende mogelijke oplossingen van de vergelijkingen te kwantificeren door de aanbeveling van Eady uit 1951 te volgen. Men berekent dan een groot aantal numerieke verwachtingen, een ensemble van verwachtingen, voor dezelfde termijn, met verschillen in de begintoestand van de orde van de onvermijdelijke fouten in de waarnemingen. Uit de pluim van verwachtingen die men zo verkrijgt kan men dan kansverwachtingen afleiden.

Slotopmerking
Het verbeteren van modellen en waarnemingen wordt voortgezet, voornamelijk ten behoeve van de kwaliteit van de verwachtingen binnen de voorspelhorizon en van de kwaliteit van de verwachtingen voor de kleinere schalen. Dit zal ook nog wel een bescheiden verbetering in de bruikbare verwachtingstermijn opleveren. Naar een bepaalde waarde voor de voorspelhorizon hoeven we niet te zoeken wegens de afhankelijkheid van de voorspelbaarheid van de weersituatie.[/fusion_builder_column][/fusion_builder_row][/fusion_builder_container]